„Równania fizyki matematycznej” - kurs 2800 rub. z MSU, szkolenie 15 tygodni. (4 miesiące), Data: 30 listopada 2023 r.
Miscellanea / / December 02, 2023
Studia przeznaczone są dla licencjatów, magistrów i specjalistów specjalizujących się w dyscyplinach matematycznych, inżynierskich lub przyrodniczych, a także dla nauczycieli akademickich. Celem przedmiotu jest zapoznanie studenta z szeregiem klasycznych zagadnień z zakresu równań z fizyką matematyczną oraz nauczenie studenta podstawowych metod badania takich równań. Zajęcia obejmują klasyczny materiał z równań fizyki matematycznej (równania różniczkowe cząstkowe) w ciągu jednego semestru studiów. Sekcje „Równania liniowe i kwaziliniowe pierwszego rzędu”, „Klasyfikacja równań liniowych”, „Równanie falowe”, „Równanie paraboliczne”, „Rozwiązania podstawowe”, „Równanie Laplace’a”. Zapoznamy się z klasycznymi sformułowaniami problemów - problemem Cauchy’ego, problem graniczny. Opanujmy podstawowe metody badania równań - całkowanie bezpośrednie, metodę kontynuacji rozwiązań, metodę Fouriera, metodę rozwiązań podstawowych, metodę potencjałów. Często będziemy przypominać sobie wyprowadzenie tych równań w zagadnieniach fizyki matematycznej i granicach stosowalności naszych modeli.
Forma studiów
Kursy korespondencyjne z wykorzystaniem technologii nauczania na odległość
Warunki przyjęć
Dostępność VO lub SPO
2
kursDoktor nauk fizycznych i matematycznych, profesor Stanowisko: profesor Katedry Matematyki Podstawowej i Stosowanej, Wydział Badań Kosmicznych Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego im. M.V. Łomonosowa
1. Pierwsze spotkanie.
Słowo wprowadzające. Podstawowe zasady pracy z równaniami fizyki matematycznej. Przykłady prostych równań. Klasyfikacja. Rozwiązywanie prostych równań poprzez sprowadzenie ich do równań różniczkowych zwyczajnych. Zastępowanie zmiennych w równaniu.
2. Równania pierwszego rzędu – liniowe i kwaziliniowe.
Równania liniowe. Znalezienie odpowiedniego zamiennika - zestawianie i rozwiązywanie układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Całki pierwsze układu. Charakterystyka. Równania quasilinearne. Znalezienie rozwiązania w formie ukrytej.
3. Problem Cauchy’ego. Klasyfikacja równań liniowych drugiego rzędu.
Sformułowanie problemu Cauchy'ego. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu Cauchy'ego. Klasyfikacja równań liniowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Redukcja do postaci kanonicznej.
4. Równania hiperboliczne, paraboliczne i eliptyczne.
Klasyfikacja równań liniowych drugiego rzędu ze zmiennymi współczynnikami na płaszczyźnie. Typ hiperboliczny, paraboliczny i eliptyczny. Rozwiązywanie równań hiperbolicznych. Zagadnienia warunków początkowych i brzegowych.
5. Równanie strunowe.
Jednowymiarowe równanie falowe na całej osi. Fala do przodu i do tyłu. wzór d'Alemberta. Całka Duhamela. Warunki brzegowe równania na półosi. Podstawowe typy warunków brzegowych. Kontynuacja rozwiązania. Przypadek segmentu skończonego.
6. Metoda Fouriera na przykładzie równania strunowego.
Idea metody Fouriera. Pierwszym krokiem jest znalezienie podstawy. Drugim krokiem jest otrzymanie równań różniczkowych zwyczajnych dla współczynników Fouriera. Trzecim krokiem jest uwzględnienie danych początkowych. Zbieżność szeregów.
7. Równanie dyfuzji (odcinek skończony).
Wyprowadzenie równania. Zestawienie problemów (warunki początkowe i brzegowe). Metoda Fouriera. Uwzględnienie prawej strony i niejednorodności warunków brzegowych. Zbieżność szeregów.
8. Równanie dyfuzji (cała oś).
Transformata Fouriera, wzór na inwersję. Rozwiązywanie równania za pomocą transformaty Fouriera. Twierdzenie – uzasadnienie metody (dwa przypadki). Wzór Poissona. Przypadek równania z prawą stroną.
9. Funkcje uogólnione.
Zapisywanie wzoru Poissona w postaci splotu. Zapis w postaci splotu rozwiązania równania ciepła na skończonym odcinku. klasa Schwartza. Przykłady funkcji z klasy. Definicja funkcji uogólnionych, związek z funkcjami klasycznymi. Mnożenie funkcji uogólnionej przez funkcję podstawową, różniczkowanie. Zbieżność funkcji uogólnionych. Przykłady funkcji ogólnych.
10. Praca z funkcjami ogólnymi.
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych w funkcjach uogólnionych. Transformata Fouriera funkcji uogólnionych. Skręt. Produkt bezpośredni. Nośnik funkcji uogólnionej. Rozwiązywanie niejednorodnego jednowymiarowego równania ciepła z wykorzystaniem rozwiązania podstawowego. Podstawowe rozwiązanie zwykłego operatora różniczkowego na przedziale.
11. Podstawowe rozwiązania.
Wyprowadzenie wzoru Poissona dla wielowymiarowego równania ciepła. Wyprowadzenie wzoru Kirkhoffa. Wyprowadzenie wzoru Poissona na równanie falowe. Rozwiązywanie problemów metodą separacji zmiennych, metodą superpozycji.
12. Równanie Laplace'a.
Wyprowadzenie równania Laplace'a. Pole wektorowe – potencjał, przepływ przez powierzchnię. Potencjał objętościowy. Prosty potencjał warstwy. Potencjał podwójnej warstwy. Potencjał logarytmiczny.
13. Problem Dirichleta, problem Neumanna i funkcja Greena.
Funkcje harmoniczne. Słaba zasada ekstremum. Twierdzenie Harnacka. Ścisła zasada maksimum. Twierdzenie o wyjątkowości. Twierdzenie o wartości średniej. Nieskończona gładkość. Twierdzenie Liouville'a. Wzór Greena. Funkcja Greena, jej własności. Rozwiązanie problemu Poissona z warunkami Dirichleta z wykorzystaniem funkcji Greena. Inne problemy wartości brzegowych. Konstrukcja funkcji Greena metodą odbicia.
14.Wielowymiarowa metoda Fouriera.
Rozwiązywanie problemów metodą Fouriera. Różne warunki brzegowe. Funkcje Bessela. Wielomian Legendre’a. Opinia o ukończonym kursie. Zreasumowanie.